1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

b, 2x+3y chia hết cho 17

=> 13.(2x+3y) chia hết cho 17   hay 26x+39y chia hết cho 17

Mà 17x và 34y đều chia hết cho 17 => 26x+39y-17x-34y chia hết cho 17 hay 9x+5y chia hết cho 17

=> ĐPCM

k mk nha

b) Ta có : 2x+3y chia hết cho 17

=> 9(2x+3y) chia hết cho 17

=> 18x+27y chia hết cho 17 

Giả sử điều cần chứng minh là đúng thì 9x+5y chia hết cho 17 

=> 2(9x+5y) chia hết cho 17

18x+10y chia hết cho 17

=> (18x+27y)-(18x+10y) = 17y chia hết cho 17

Mà 18x+27y chia hết cho 17 nên 18x+10y cũng chia hết cho 17

<=> 9x+5y chia hết cho 17

b) Ta có : 2x+3y chia hết cho 17

=> 9(2x+3y) chia hết cho 17

=> 18x+27y chia hết cho 17 

Giả sử điều cần chứng minh là đúng thì 9x+5y chia hết cho 17 

=> 2(9x+5y) chia hết cho 17

18x+10y chia hết cho 17

=> (18x+27y)-(18x+10y) = 17y chia hết cho 17

Mà 18x+27y chia hết cho 17 nên 18x+10y cũng chia hết cho 17

<=> 9x+5y chia hết cho 17

tìm các chữ số tận cùng của hai số trên ta có :

A=...3-...3=...0 Vì A có tận cùng là 0 =>A chia hết cho 5 (đpcm)

Ta có: \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right)^{999}.999993-\left(...9\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right).999993-\left(...1\right).555557\)

\(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)\(=\left(...0\right)\)

Chữ số tận cùng của \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\) là \(0\).

\(\Rightarrow\)\(A=999993^{1999}-555557^{1997}⋮5\)

Cho \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

Vì \(^{1999}\) có dạng \(4n+3\) nên \(999993^{1999}=\overline{...7}\)

Vì \(^{1997}\) có dạng \(4n+1\) nên \(555557^{1997}=\overline{...7}\)

Ta có: \(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

\(\overline{...0}⋮5\) \(\Rightarrow\) \(A⋮5\)

Để A chia hết cho5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của mỗi số. 

Ta có :

 \(3^{1999}=\left(3^4\right)^{499}\times3^3=81^{499}\times27=......7\)

\(7^{1997}=\left(7^4\right)^{499}\times7=2041^{499}\times7=....7\)

Vậy  A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5

Để A chia hết cho 5 thì A phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Ta có: (1) 999993¹⁹⁹⁹=(999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³

Vì 999993⁴ có tận cùng là 1 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1

999993³ có tận cùng là 7 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³ có tận cùng là 7 ( ta nhân 2 chữ số tận cùng lại với nhau 1.7=7)

(2) 555557¹⁹⁹⁷= (555557⁴)⁴⁹⁹ .7

Ta có 555557⁴ có tận cùng là 1 suy ra (555557⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1 nên (555557⁴)⁴⁹⁹.7 có tận cùng là 7

 Vậy chữ số tận cùng của A là 7-7=0. Từ đây ta kết luận A chia hết cho 5

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ sốtận cùng của từng số hạng.

Ta có: 3¹⁹⁹⁹ = ( 3⁴)⁴⁹⁹ . 3³= 81⁴⁹⁹. 27

Suy ra: 3¹⁹⁹⁹ có tận cùng là 7
7¹⁹⁹⁷ = ( 7⁴)⁴⁹⁹ .7 = 2041⁴⁹⁹ . 7 =>7 ¹⁹⁹⁷Có tận cùng là 7

Vậy A có tận cùng bằng 0 ,=>Achia hết cho 5

A=999993^1999-555557^1997=\(\left(....3^{1996+3}\right)-\left(....7^{1996+1}\right)=\left(....3^{1996}\right)x27-\left(.....7\right)^{1996}\)x7=(....1)x27-(....1)x7

=(....7)-(.....7)=(...0) chia hết cho 5(sử dụng chữ số tận cùng và tính chất chia hết cho 5)

Ta có:

\(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(A=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(A=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....9\right)}^{999}.999993-\overline{\left(.....1\right)}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....7\right)}-\overline{\left(.....7\right)}\)

\(A=\overline{\left(.....0\right)}\)

Vì A có tận cùng là 0

\(\Rightarrow A⋮5\) (Đpcm)